Geometria 1966-1991
(A. Alzati, A. Lanteri, C. Turrini. Aprile 2014)
Algebra lineare e Spazi proiettivi, affini ed euclidei
Questo tema è diventato il programma del corso di Geometria I impartito da Carlo Felice Manara presso il corso di Laurea in Matematica dell'Università di Milano dall’a.a. 1966/67, dopo essere stato testato nell’ambito del corso di Istituzioni di Geometria superiore dall’a.a. 1964/65. È utile ricordare, a questo proposito, che un insegnamento specifico di algebra al primo anno di corso fu introdotto nell'ordinamento della laurea in matematica soltanto dopo il 1960 (in sostituzione dell'insegnamento di Chimica, previsto dall'ordinamento precedente).
L’algebra lineare, trattata nella prima parte del corso di Geometria I, svolge un ruolo fondante per la geometria, che è sviluppata nella seconda parte in ambito n-dimensionale, illustrando le proprietà degli spazi proiettivi, affini ed euclidei, secondo la visione kleiniana. Questa impostazione si riflette anche nel volume di Carlo Felice Manara, Lezioni di Geometria (Viscontea, 1965), scritto espressamente come testo di appoggio, ed è certamente all’avanguardia per l’epoca.
Va osservato che al giorno d’oggi l'algebra lineare è divenuta parte integrante dei corsi di base di geometria (e in alcune sedi la sostituisce addirittura), ma all'epoca l’approccio alla geometria analitica attraverso un consistente impiego dell'algebra non era condiviso da tutti. Basti pensare a quanto riportato nel volume di E. Artin, Algebra geometrica, alle pp. 14-15 dell’edizione italiana (Feltrinelli, 1968; la prima edizione, in inglese, è del 1957). Qui, a proposito del teorema di rappresentazione degli endomorfismi di uno spazio vettoriale di dimensione finita tramite matrici, Artin rileva: “L’insegnamento della matematica soffre ancora degli entusiasmi sollevati dalla scoperta di questo isomorfismo. Ne è risultato l’abbandono della geometria e la sua sostituzione con i calcoli.” E prosegue soffermandosi sull’assurdità pedagogica dell’insegnare gli autovettori senza motivarne l’introduzione attraverso la ricerca delle rette vettoriali mutate in sé da una trasformazione lineare. Con il corso di CFM non si incorreva certo in questa assurdità: ampio spazio era infatti dedicato al problema della ricerca dei sottospazi lineari uniti e ai problemi di punti uniti per una omografia dello spazio proiettivo.
Dai primi anni ’70 CFM cessò di tenere il corso di Geometria I, a seguito del passaggio sulla Cattedra di Istituzioni di Geometria Superiore nell’anno accademico 1969-70. Molti sono i docenti, incluso chi scrive, che negli anni successivi hanno impartito l’insegnamento di geometria per le matricole (con le diverse denominazioni conseguenti alle varie riforme), ma occorre rilevare che l’impianto originale di quel corso, pur con qualche riadattamento, è tuttora adottato e conserva intatte la sua freschezza e la sua valenza culturale.
Superfici di Riemann compatte e curve algebriche
A questo tema, che occupa un ruolo centrale nella Matematica per i ponti che stabilisce tra l'Algebra, l'Analisi Complessa e la Geometria, è stato dedicato il corso di Istituzioni di Geometria Superiore negli anni accademici che vanno dal 1972/73 al 1981/82. Il tema è stato presentato in (almeno) tre versioni (edizioni) ben distinte tra loro. In tutte le edizioni la parte di esercitazione veniva dedicata anche allo sviluppo di complementi, tra cui alcuni argomenti di topologia algebrica necessari a comprendere il fenomeno dei periodi di una forma differenziale su una superficie di Riemann compatta ed argomenti della teoria delle curve algebriche piane. Lo scopo era chiaramente quello di rendere il corso autocontenuto per gli studenti del terzo anno, raccordandolo alla base delle conoscenze da loro acquisite nei corsi del primo biennio di allora.
Corso basato sui volumi di Bliss e Enriques-Chisini (negli a.a. 1972/73 e 1973/74). In questo corso l’accento era posto sulla teoria delle funzioni. Le superfici di Riemann venivano rappresentate localmente mediante parametrizzazioni uniformi in serie di Puiseux. Veniva quindi sviluppata la teoria delle funzioni razionali e dei loro integrali sulla superficie di Riemann di una curva algebrica piana, fino al teorema di Riemann-Roch, ponendo particolare riguardo al caso delle curve ellittiche. Parallelamente, seguendo il trattato di Coolidge venivano sviluppati alcuni importanti capitoli della teoria delle curve algebriche piane. [V. programma a.a. 1972-73].
Corso basato sul testo di R. Gunning: Lectures on Riemann surfaces, Princeton University Press, Princeton N.J., 1966 (dall’a.a. 1974/75 all’a.a. 1976/77 e dall’a.a. 1979/80 all’a.a. 1981/82). Il programma era stato sperimentato dapprima nel corso di Geometria Differenziale tenuto nell’a.a. 1971/72. Si tratta di un programma decisamente all’avanguardia rispetto ai tempi. Basti pensare che il testo di riferimento sono le note di un corso tenuto dall'autore a Princeton solo pochi anni prima. Alla centralità dell’argomento si unisce l’utilizzo di strumenti relativamente recenti per l’epoca, quali la teoria dei fasci e della loro coomologia. Dopo alcuni richiami di base sulle proprietà elementari delle funzioni di una variabile complessa venivano sviluppati i capitoli principali del libro di Gunning, inclusi la teoria dei divisori, dei differenziali olomorfi e il teorema di Riemann-Roch su una superficie di Riemann compatta, fino ad arrivare alla immersione proiettiva definita da un divisore molto ampio, alla curva canonica, alla struttura del campo delle funzioni meromorfe, all’immersione nella jacobiana o al problema delle lacune di Weierstrass, a seconda dell’edizione. Il teorema di dualità di Serre e il teorema di finitezza di Cartan-Serre, trattati nel libro di R. Gunning, ma non sviluppati a lezione, fornivano degli ulteriori spunti interessanti agli studenti provvisti di conoscenze di analisi funzionale. [V. programmi a.a. 1974-75 e 1979-80].
Corso basato sul testo di G. Springer: Introduction to Riemann Surfaces- Addison-Wesley, 1957 (negli a.a. 1977/78 e 1978/79). In questo corso, anch’esso finalizzato a presentare i risultati principali della teoria delle superficie di Riemann e a mostrare i legami con le curve algebriche, l’accento era posto soprattutto sulla teoria dei differenziali armonici e olomorfi su una superficie di Riemann compatta e dei loro periodi. In particolare, il teorema di esistenza per differenziali armonici e meromorfi con singolarità di tipo assegnato occupava un ruolo centrale ed offriva lo strumento fondamentale per la dimostrazione del teorema di Riemann-Roch. Venivano anche presentate le relazioni bilineari di Riemann e il teorema di Abel. Anche in questa edizione, particolare attenzione era dedicata alle funzioni ellittiche. [V. programma a.a. 1978-79].
Geometria Differenziale
Dall’a.a.1983/84 all’a.a.1985/86 il programma del corso è stato centrato principalmente, ma non esclusivamente, su argomenti di Geometria Differenziale. In particolare, nella parte di esercitazioni venivano affrontate tematiche di topologia algebrico-differenziale e gli aspetti elementari della geometria differenziale delle curve e delle ipersuperfici negli spazi affini euclidei di ogni dimensione. Nelle lezioni del corso venivano trattati:
- 1) la geometria differenziale negli spazi affini e proiettivi;
- 2) il calcolo tensoriale;
- 3) la teoria dell’integrabilità delle forme differenziali;
- 4) il metodo del riferimento mobile secondo Cartan;
- 5) alcuni modelli di geometrie non euclidee.
L’argomento 1) non fa parte abitualmente di corsi di Geometria Differenziale, ma era molto caro a CFM perché da un lato riprendeva la tradizione italiana risalente a Luigi Bianchi, che successivamente era stata abbandonata, dall’altro forniva una conoscenza molto approfondita dei gruppi di trasformazioni ai possibili futuri insegnanti. In allegato si riportano brevi note autografe di CFM: “Questioni di Geometria Differenziale nel piano rispetto al gruppo affine unimodulare” in cui, per esempio, viene introdotto un concetto di curvatura che risulta invariante rispetto alle trasformazioni affini unimodulari.
L’argomento 4) veniva utilizzato per trattare in modo molto elegante il trasporto parallelo secondo Levi-Civita e, di conseguenza, per ottenere in forma molto compatta le equazioni delle curve geodetiche su una varietà differenziabile, le equazioni intrinseche delle varietà e le loro condizioni di integrabilità. È significativo osservare che non esisteva un testo di riferimento per tale argomento e che CFM lo aveva distillato e rielaborato a partire direttamente dalle lezioni di Elie Cartan, tenute a Parigi e raccolte nel libro “Les Systèmes différentielles extérieurs et leurs applications géométriques”, edito nel 1945 da Hermann, all’interno della collana di carattere scientifico-industriale Actualités Scientifiques et Industrielles (no. 994. Paris, Hermann,1945. 214pp.)
Per questo motivo, a titolo di esempio, viene allegata la scansione di alcune pagine degli appunti con cui CFM introduceva tale metodo nel caso delle superfici e lo esemplificava nel caso della sfera.
Fasci
Nell’a.a. 1971/72 il corso avrebbe dovuto appoggiarsi al volume "Introduzione ai metodi della Geometria Algebrica" di S. Baldassarri Ghezzo, C. Margaglio, T. Millevoi (Ed. Cremonese, Roma, 1967) sulla teoria dei fasci, per costruire la competenza algebrica necessaria all’introduzione e allo studio delle prime proprietà delle varietà algebriche. In realtà, una lunga occupazione dell’Ateneo da parte degli studenti non consentì lo sviluppo del corso secondo l’impostazione prevista per cui il programma venne limitato alla parte algebrica, senza riferimento alle applicazioni geometriche.
Le superfici razionali
Nell’a.a. 1982/83 il programma del corso venne incentrato principalmente sul contenuto del volume di Fabio Conforto “Le superficie razionali” (Zanichelli, Bologna, 1939),
in cui l’autore riprende, riorganizzandole, le lezioni sulla teoria delle superfici razionali tenute da Federigo Enriques nell’ambito del corso di Geometria Superiore da lui impartito presso la R. Università di Roma. Si tratta sicuramente di uno dei temi maggiormente “nelle corde” di CFM. Egli scherzosamente aveva più volte rimproverato ai suoi assistenti di non avergli mai permesso di trattare nel corso quelli che in realtà erano i contenuti a lui più graditi. Diverse volte, negli anni precedenti, aveva infatti detto:” …Prima di andare in pensione voglio almeno una volta insegnare l’argomento che mi piace di più”.
Nel testo di Conforto le proprietà geometriche delle superfici razionali sono ricavate dallo studio dei sistemi lineari di curve piane che le rappresentano. Per la lettura del testo erano necessarie, come prerequisiti, discrete conoscenze della geometria piana, delle trasformazioni cremoniane (cioè trasformazioni birazionali del piano in sé) e della teoria delle curve algebriche piane. La prima parte delle lezioni del corso e buona parte delle esercitazioni, pertanto, erano dedicate a fornire questi prerequisiti (oltre che a dare agli studenti gli strumenti topologici necessari). Nella seconda parte del corso venivano trattate, con eleganza davvero ammirevole, principalmente i capitoli del primo libro del volume di Conforto, ovvero quelli dedicati alla descrizione delle proprietà geometriche delle superfici algebriche razionali di grado basso: quadriche, superfici cubiche rigate e non, le 27 rette sulla superficie cubica generale, la superficie di Veronese e le sue proiezioni, in particolare la superficie Romana di Steiner.
Corso libero di Geometria Differenziale
Nel periodo in cui Carlo Felice Manara era “fuori ruolo”, tenne un corso libero di Geometria Differenziale il cui programma riprendeva in parte quello dei corsi di I.G.S. degli anni precedenti. Precisamente il programma trattava:
- gli aspetti elementari della geometria differenziale delle curve e delle ipersuperfici negli spazi affini euclidei di ogni dimensione;
- il calcolo tensoriale;
- la teoria dell’integrabilità delle forme differenziali;
- il metodo del riferimento mobile secondo Cartan;
- modelli di geometrie non euclidee.