Economia matematica e dintorni

 

Lo scopo di queste pagine è innanzitutto quello di considerare alcuni volumi scritti da Carlo Felice Manara (CFM), eventualmente in collaborazione, nell’ordine temporale in cui vennero pubblicati: il primo sull’Analisi economica, scritto in collaborazione con Siro Lombardini, il secondo su Matematica finanziaria e attuariale, il terzo su Matematica generale. Si ritornerà successivamente sull’economia matematica, per discutere brevemente del volume prodotto in collaborazione con l’estensore di queste pagine.

Si considerano inoltre alcuni altri contributi di CFM attinenti all’economia matematica e a riflessioni sull’impiego dello strumento matematico in economia. Tutti questi contributi vennero pubblicati in varie sedi.

Sono anche considerati tre contributi che non sono mai stati pubblicati. Tra questi viene brevemente richiamato il sostanzioso fascicolo di appunti sulla teoria dei controlli ottimi, scritto da CFM per un ciclo di seminari svolti presso il centro studi della Montedison di Milano nell’anno 1971, e il fascicolo sulla stabilità strutturale presentato ad Udine nel 1977.

 

Analisi economica

 

Il libro vide la luce, sotto forma di dispense, attorno all’anno 1955, edito da "La Goliardica" di Milano, quando CFM si era da poco trasferito dall’Università di Modena a quella di Pavia. Diceva CFM che il titolo "Introduzione matematica all’analisi economica", per volere di Lombardini recava in rosso i termini "matematica" ed "economica", per potersi leggere "matematica economica". Molto probabilmente i due Autori si erano conosciuti a Modena, allorché Manara era diventato Professore straordinario di Geometria in quella Università, e Lombardini svolgeva un incarico di insegnamento di Economia. E’ quindi verosimile che sia stato Lombardini ad attirare l’attenzione di CFM sulle applicazioni della matematica all’economia. Il libro consta di due parti distinte: la prima è intitolata Complementi di matematica, consta di 214 pagine dattiloscritte, ed è interamente opera di CFM, mentre la seconda parte, mai terminata, dal titolo Il metodo matematico nell’analisi economica, è frutto di Siro Lombardini. Naturalmente mi limito a ricordare e commentare il contenuto della prima parte.

 

Il primo capitolo ha come titolo Concetti fondamentali: insiemi, corrispondenze, insiemi di punti, vettori. Per quegli anni non era affatto usuale che testi di matematica si dilungassero sul concetto di insieme e sulle relative operazioni, fino a introdurre le nozioni di relazione e di corrispondenza. Dopo avere proposto gli aspetti fondamentali in modo del tutto astratto, CFM passa a considerare gli insiemi di punti nello spazio ad n dimensioni, e non semplicemente a due o tre dimensioni, come era allora uso fare nei testi introduttivi. Egli considera la nozione di distanza euclidea con le relative proprietà, e le nozioni di insieme aperto, chiuso, illimitato, infinito, … Queste nozioni sono preliminari all’introduzione della nozione di vettore ad n componenti, seguito dalle operazioni sui vettori che definiscono algebricamente lo spazio vettoriale n-dimensionale sul campo reale. E’ inoltre notevole, sempre con riferimento agli anni cinquanta del secolo scorso, l’attenzione riservata da CFM agli insiemi convessi, il cui ruolo nella teoria economica è oggi assai importante. Questa Il quarto capitolo si intitola Sistemi di equazioni lineari e trasformazioni lineari. CFM inizia considerando un sistema lineare non degenere di n equazioni in n incognite e scrive la soluzione mediante la matrice inversa della matrice dei coefficienti, e sottolinea il fatto che la formula risolutiva equivale alla tradizionale "regola di Cramer". Vengono studiati anche i sistemi con un numero di equazioni diverso dal numero delle incognite, e sono introdotte le forme canoniche delle matrici, fino ad arrivare a definire e scrivere la forma canonica hermitiana, con la dimostrazione del teorema che ogni matrice quadrata non degenere può sempre essere trasformata in una matrice equivalente posta in forma canonica hermitiana. Il capitolo si chiude con un fugace accenno agli autovalori (e autovettori) di una matrice quadrata.

nozione serve a CFM per introdurre lo studio delle disequazioni lineari, e più in generale delle disequazioni convesse e dei relativi sistemi, per arrivare a discutere teoremi di separazione fra insiemi convessi. Si passa poi a considerare quei particolari insiemi convessi che sono i coni convessi poliedrici, la cui utilità in teoria economica è rimarchevole.

 

Il capitolo secondo reca il titolo Richiami sulle funzioni, sia di una che di molte variabili. Qui le nozioni introdotte sono quelle usuali, salvo forse l’elasticità di una funzione, assai importante in economia per lo studio delle proprietà delle funzioni di domanda e di offerta. Un particolare richiamo merita il fatto che CFM dedica uno spazio adeguato alle funzioni omogenee ed al connesso teorema di Eulero.

 

Nel terzo capitolo, Matrici e determinanti, si può affermare, sempre con riferimento agli anni di cui si sta dicendo, che CFM è molto in anticipo rispetto a quanto contengono i maggiori testi di analisi matematica, dove la nozione di matrice serve quasi soltanto ad introdurre la nozione di determinante di una matrice quadrata, da impiegare nello studio dell’esistenza di soluzioni per i sistemi di equazioni lineari. Vengono definite le operazioni principali sulle matrici (trasposizione, somma, prodotto, moltiplicazione per uno scalare e relative proprietà), e si studiano anche le medesime proprietà per le matrici a blocchi. Vengono poi considerate le trasformazioni elementari delle matrici per arrivare allo studio delle matrici quadrate e dei loro determinanti, e quindi si considera l’inversa di una matrice quadrata non degenere. Non occorre aggiungere che quanto precede è poi finalizzato allo studio dei sistemi di equazioni e disequazioni lineari, oggetto del successivo capitolo quarto, nozioni che stavano diventando importanti in economia grazie alla introduzione e diffusione della programmazione lineare.

Il quarto capitolo si intitola Sistemi di equazioni lineari e trasformazioni lineari. CFM inizia considerando un sistema lineare non degenere di n equazioni in n incognite e scrive la soluzione mediante la matrice inversa della matrice dei coefficienti, e sottolinea il fatto che la formula risolutiva equivale alla tradizionale “regola di Cramer”. Vengono studiati anche i sistemi con un numero di equazioni diverso dal numero delle incognite, e sono introdotte le forme canoniche delle matrici, fino ad arrivare a definire e scrivere la forma canonica hermitiana, con la dimostrazione del teorema che ogni matrice quadrata non degenere può sempre essere trasformata  in una matrice equivalente posta in forma canonica hermitiana. Il capitolo si chiude con un fugace accenno agli autovalori (e autovettori) di una matrice quadrata.

 

Il successivo capitolo quinto riguarda le forme quadratiche, sia generiche che specializzate, di cui si studiano le proprietà salienti che di solito ricevono solo un fugace cenno nei testi di analisi matematica dell’epoca. Si studia accuratamente la forma canonica e si considerano i determinanti dei minori principali per stabilire quando una forma quadratica è definita positiva oppure negativa. E’ abbastanza singolare per l’epoca che CFM abbia proposto anche l’analisi delle forme quadratiche le cui variabili devono soddisfare vincoli lineari.

 

Conclude la parte matematica del volume il capitolo sesto, su Massimi e minimi delle funzioni. Inutile dire che in questo capitolo convergono tutti gli argomenti proposti nei capitoli precedenti. Un aspetto interessante della trattazione di CFM è rappresentata dal fatto che egli, per mostrare come vi siano funzioni continue ma non derivabili ovunque, ricorre all’impiego del valore assoluto per proporre un esempio interessante (p. 192) che mi sembra valga la pena di riproporre in questa sede. Si tratta della funzione f(x)=||x|+|1-|x||-2|, nell’intervallo [–3,3], la cui rappresentazione grafica è la seguente:

  

                           

         

Come si osserva, la funzione ha un massimo assoluto, di valore 3, nei due punti –3 e 3, un massimo relativo, di valore 1, che copre tutto l’intervallo [-1,1], e due punti di minimo assoluto, -1,5 e 1,5, che vale zero, dove la funzione non è derivabile, o meglio ha due derivate, destra e sinistra, entrambe diverse da zero.

 

Lo studio dei massimi e minimi si sviluppa ampiamente sulle funzioni di molte variabili e i relativi procedimenti di ricerca delle soluzioni; ovviamente sono le funzioni differenziabili a tenere il campo e la forma quadratica che esprime la condizione sufficiente per l’esistenza di un massimo o un minimo assume un ruolo rilevante, grazie allo studio delle forme quadratiche proposto nel capitolo quinto. Dopo avere trattato il caso delle funzioni le cui variabili non sono vincolate, CFM si occupa dei massimi e minimi vincolati da più equazioni, e conclude il capitolo con un’analisi del metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Non occorre sottolineare come questo capitolo trovi ampia applicazione in economia matematica, dove l’analisi del problema del consumatore e del problema dell’impresa sono di primaria importanza.

 

Matematica finanziaria e attuariale

 

A metà degli anni Cinquanta del secolo passato a CFM, trasferitosi dall’Università di Modena a quella di Pavia, venne conferito l’incarico del corso serale di Matematica finanziaria (attuariale) nella Facoltà di Economia e Commercio dell’Università Cattolica, sede di Milano. Scrisse un bel libro, dal titolo Elementi di matematica finanziaria ed attuariale, edito dalle “Edizioni universitarie Malfasi” di Milano, datato 1957. Nella preparazione del volume CFM si documentò ampiamente, per le tabelle incluse alla fine del testo, di dati pubblicati dai giornali specializzati dell’epoca, come è documentato dalla cartella contenente i ritagli da lui conservati e presenti presso l’archivio predisposto dalla famiglia CFM. In particolare sono conservate numerose tabelle sui prestiti obbligazionari emessi dalle principali imprese italiane dell’epoca. A questo volume venne affiancato, nel 1959, il volume Esercizi di matematica finanziaria e attuariale scritto insieme a Pietro Canetta e pubblicato dalle “Edizioni la Viscontea”.

 

Il volume di elementi fu seguito, nel 1980, per i tipi della casa editrice “Edizioni La Viscontea”, da un analogo volume scritto congiuntamente da CFM e da Pietro Canetta.

 

Per poter trattare anche i principi della matematica attuariale, a CFM fu necessario premettere un capitolo intitolato Elementi di calcolo delle probabilità. Dopo avere introdotto il concetto di probabilità, CFM presenta le leggi fondamentali che presiedono a questo calcolo, e successivamente discute la distinzione fra probabilità e frequenze, e introduce la legge empirica del caso, espressa da CFM come le seguenti parole: “Crescendo il numero N degli esperimenti, la frequenza osservata si avvicina sempre più alla probabilità calcolata.” Segue una agile trattazione delle variabili casuali discrete e viene proposto il teorema di Bienaymé-Cebicef, con relativa dimostrazione. Successivamente, le nozioni precedentemente introdotte sono applicate allo studio del problema delle prove ripetute e si perviene al teorema di Giacomo Bernouilli, ed inoltre si esaminano le formule approssimate quando il numero delle prove è molto grande. Questo permette a CFM di arrivare a scrivere la formula della curva di Gauss e di introdurre le nozioni di densità di probabilità e di funzione di distribuzione. Il capitolo si conclude con una breve e chiara introduzione ai sistemi di variabili casuali e studia il teorema limite del calcolo delle probabilità. E’ in questa sede che CFM propone il classico problema dell’ago, o di Buffon.

 

Nella preparazione della parte sul calcolo delle probabilità CFM si era anche interessato, probabilmente non senza qualche facezia, del gioco del lotto e dell’attesa dei numeri cosiddetti ritardatari, come si evince dalla documentazione conservata nel sito a lui dedicato.

 

Il capitolo secondo reca il titolo Elementi di matematica finanziaria, ed inizia presentando le principali leggi di capitalizzazione: semplice, composta, continua, con le relative proprietà, e un accenno alle leggi generali di capitalizzazione. Successivamente CFM introduce la nozione di rendita certa, e propone analisi grafiche per i relativi calcoli numerici quando il tempo è una variabile discreta. Non manca però anche un cenno alle rendite continue. Successivamente CFM analizza i problemi degli ammortamenti dei mutui, tema oggi diventato scottante per molti, ed analizza come si determina il premio puro e il premio caricato dato l’ammontare di un mutuo, sotto varie ipotesi sulla successione delle rate poste a servizio del prestito. Viene infine trattato il caso dei prestiti con obbligazioni.

 

Il successivo capitolo terzo contiene Elementi di matematica attuariale. Inizia ovviamente dalle nozioni di sopravvivenza e mortalità, le cui probabilità sono determinate per mezzo delle funzioni biometriche elementari, necessarie per la costruzione di tavole di sopravvivenza e di mortalità. In questo contesto CFM presenta le leggi di Makeham e di Gompertz per rappresentare analiticamente la funzione di sopravvivenza. Le nozioni introduttive sommariamente ricordate stanno alla base delle assicurazioni e delle rendite, che CFM incomincia ad analizzare per il caso vita, successivamente per il caso morte, e poi ancora per il caso misto, quando i relativi contratti sono stipulati su una o più teste. Una sezione successiva verte sui premi periodici, puri e caricati, e accenna inoltre alle controassicurazioni. Conclude il capitolo una discussione sulla riserva matematica, che ogni compagnia assicurativa ha l’obbligo per legge di costituire, per l’ovvia ragione che ogni assicurato assolve temporalmente ai suoi impegni prima dell’assicuratore, e quindi diventa creditore dell’assicuratore. Il debito dell’assicuratore, dato dalla differenza fra prestazioni dell’assicurato e quelle dell’assicuratore, costituiscono la riserva matematica inerente al contratto fra le due parti. CFM considera tre metodi per il calcolo della riserva matematica, nello studio della quale sono praticamente richieste tutte le nozioni presentate in precedenza.

 

L’intero testo è corredato da numerosi esempi, spesso illuminanti per comprendere le nozioni presentate nel corso dei vari capitoli. Vi è inoltre un’appendice sui complementi di analisi matematica, tra i quali rilevano le formule e le serie di Taylor e di Mac Laurin, accanto ad accenni sulla risoluzione numerica delle equazioni e sui metodi di interpolazione, in quegli anni molto utili, mancando ancora i moderni strumenti elettronici che hanno mandato in soffitta le tavole numeriche di ogni tipo.

 

Il testo in oggetto è breve, in tutto 242 pagine, comprese le tavole numeriche; ma certamente contiene tutti gli elementi essenziali per ben comprendere i fenomeni finanziari e attuariali che solitamente, in testi più tradizionali scritti dagli specifici studiosi di questa materia, risultano largamente diluiti.

 

Matematica generale

 

L’insegnamento di Matematica generale rappresenta il corso base per tutti gli altri insegnamenti di contenuto matematico impartiti nelle Facoltà di Economia e Commercio, oggi Facoltà di Economia. Negli anni Sessanta dello scorso secolo CFM invece del corso di matematica finanziaria (attuariale), sempre nella medesima facoltà ma nell’ambito dei corsi diurni, fu titolare dell’incarico di Matematica generale, per il quale insegnamento pubblicò un interessante manuale, intitolato Matematica generale, abbastanza innovativo per quell’epoca, dove veniva dato adeguato spazio anche allo studio del metodo dei moltiplicatori di Lagrange, molto importante per trattare, fra gli altri, sia il problema del consumatore che il problema dell’impresa in concorrenza perfetta, oggi strumenti indispensabili nel bagaglio di ogni economista che non si voglia limitare a produrre mere descrizioni verbali del mondo economico.

 

Fatte queste anticipazioni, anche per il volume in esame, certamente meno raffinato nella sua stesura della parte matematica di Introduzione matematica all’analisi economica, è opportuno fare menzione dei suoi contenuti. Ci si riferisce qui alla terza edizione, pubblicata a Milano da La Goliardica nel 1963, seguito dopo alcuni anni da una edizione riveduta, con la correzione di qualche errore tipografico.

 

Il capitolo iniziale tratta Elementi di calcolo combinatorio, con un’impostazione del tutto tradizionale per quell’epoca, ed è seguito dal capitolo su Matrici, determinanti, sistemi di equazioni lineari. Anche questo capitolo è di impostazione tradizionale; la nozione di matrice viene introdotta per definire il determinante di una matrice quadrata e le sue principali proprietà, allo scopo di considerare sistemi di equazioni lineari e loro soluzioni, con presentazione della regola di Cramer ed enunciazione del teorema di Rouché e Capelli.

 

Il terzo capitolo reca come titolo Elementi di geometria analitica, anche qui con impostazione piuttosto tradizionale. Molto ampia è la parte riguardante il piano cartesiano, ma vi sono anche alcuni elementi di geometria analitica dello spazio tridimensionale. Il successivo capitolo si occupa di Insiemi, con un’ampiezza inusitata nella maggior parte dei testi di quel torno di tempo; naturalmente lo studio verte soprattutto sugli insiemi dello spazio a due e a tre dimensioni, ma alla fina non manca un cenno sugli insiemi nello spazio a molte dimensioni.

 

Il quinto capitolo si intitola Successioni e serie numeriche; senza dubbio si addentra molto più a fondo rispetto ai testi tradizionali dell’epoca, con la presentazione di vari esempi caratteristici e uno studio delle proprietà del numero e.

 

I capitoli dal sesto al nono riguardano le funzioni di una variabile, i limiti, la continuità, e il calcolo differenziale e integrale, con le tradizionali applicazioni allo studio delle funzioni. Invece i capitoli dal decimo al tredicesimo svolgono la teoria per le funzioni di due variabili, mentre il capitolo quattordicesimo si occupa delle funzioni di più variabili, con un accenno al metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

 

Il quindicesimo e ultimo capitolo introduce le equazioni differenziali, con particolare riferimento alle equazioni lineari a coefficienti costanti, del primo e del secondo ordine, spesso utilizzate già in quegli anni nello studio dei modelli macroeconomici dinamici.

 

Complessivamente, gli argomenti trattati sono quelli tradizionali dell’epoca, a parte forse i capitoli sulle successioni e serie e sulle equazioni differenziali. Ma colpisce immediatamente e favorevolmente il modo moderno con cui sono trattati i vari argomenti.

 

Economia matematica

 

Una volta trasferitosi all’Università di Milano, all’inizio degli anni Sessanta del secolo scorso, CFM fece affidare l’incarico di Economia matematica, nella Facoltà di Scienze matematiche, fisiche e naturali, a Siro Lombardini, che lo svolse per alcuni anni sino a quando, essendosi trasferito Lombardini all’Università di Torino, l’incarico venne assunto per qualche anno da CFM, fino al 1967, e poi dall’estensore di queste righe. Con lui collaborai per la preparazione delle dispense di Economia matematica, che nel 1967 diventarono un libro, dal titolo Elementi di economia matematica, edito dalla “Editrice Viscontea” di Milano, pensato e scritto non solo ad uso degli studenti delle Facoltà di Scienze e di Economia, ma ancor più per gli studiosi italiani e non della disciplina.

Per la prima volta in Italia, il libro forniva una presentazione approfondita della teoria dell’equilibrio economico generale concorrenziale, con dimostrazioni di esistenza basate sul teorema del punto fisso di Brouwer. Si studiavano anche le proprietà delle matrici quadrate non negative e le relative applicazioni allo studio dei modelli di tipo Leontief, sia statici che dinamici. Si prendevano in esame le strutture convesse e veniva anche riservato ampio spazio allo studio delle disequazioni, estesamente applicate nella programmazione lineare e non lineare, nonché nel modello dinamico di von Neumann. Una caratteristica del volume è il fatto di contenere un’unica figura, riguardante un modello macroeconomico, perché CFM voleva che le teorie presentate fossero calate nello spazio euclideo a molte dimensioni, ed inoltre il libro non contiene alcun esempio illustrativo.

 

Per ripercorrere gli argomenti proposti dal libro, ancora una volta si commenterà brevemente il contenuto dei vari capitoli, proponendo qualche critica.

 

Il primo capitolo ha come titolo Modelli economici aggregati, e propone alcuni modelli macroeconomici, sia uniperiodali che multiperiodali, tra i più diffusi in quegli anni. Una particolare enfasi è riservata a un modello di sviluppo a due settori in tempo continuo.

 

Il capitolo secondo è suddiviso in due parti: la prima si intitola Cenni sulla programmazione lineare, la seconda è rivolta alle Nozioni sui giochi fra due persone a somma nulla. Le nozioni sui giochi, in particolare sui giochi matriciali, si avvalgono della programmazione lineare, per questo i due argomenti sono stati inclusi nel medesimo capitolo. Va sottolineato però che l’esistenza di soluzioni di un gioco è ottenuta nel caso generale, seguendo le idee proposte inizialmente da Nash (1950), citato in bibliografia.

 

I capitoli dal terzo al quinto rappresentano il nucleo centrale del libro, e sostanzialmente riguardano la teoria dell’equilibrio economico generale concorrenziale, fondato alla fine dell’Ottocento da Leon Walras e perfezionato da Vilfredo Pareto. In particolare, il capitolo terzo, suddiviso in due sezioni, tratta l’analisi del consumo e successivamente l’analisi della produzione. L’analisi è condotta sotto ipotesi di sola continuità, bastevoli a dare un resoconto completo della teoria; ma si aggiunge poi un’ipotesi di differenziabilità delle funzioni coinvolte per arrivare ad una analisi di statica comparata, nella quale svolgono un ruolo rilevante le equazioni di Slutsky. Il capitolo quarto tratta i Modelli statici di equilibrio generale, e in particolare il modello walrasiano con produzione, nella forma rivisitata e generalizzata da Arrow e Debreu nel 1954. Per dimostrare l’esistenza di una soluzione viene applicato il teorema del punto fisso introdotto da Brouwer agli inizi del Novecento, di cui viene data una dimostrazione, elaborata per intero da CFM nell’Appendice 4. In quell’appendice è dato anche l’enunciato del teorema del punto fisso di Kakutani (riguardante le multifunzioni). Il capitolo si chiude con l’analisi dell’ottimalità di una configurazione di equilibrio generale concorrenziale, introdotta da Pareto agli inizi del Novecento. Nel capitolo quinto l’equilibrio generale concorrenziale è riconsiderato per analizzare la Stabilità delle posizioni di equilibrio generale. Come è noto, le condizioni sufficienti a garantire l’esistenza di un equilibrio generale non assicurano anche la sua stabilità, ossia il fatto che una deviazione dalla posizione di equilibrio sia in grado di generare forze capaci di ricondurre l’economia ad una posizione di equilibrio.

 

L’ultimo e sesto capitolo rappresenta una Introduzione all’analisi dinamica.  Per la verità ci si limita ad analizzare il modello dinamico di Leontief e la sua generalizzazione dovuta a von Neumann. Per l’esistenza di soluzioni in questo secondo modello viene impiegato un teorema di separazione tra insiemi convessi, il cui studio è oggetto di una delle appendici. Si dà anche una dimostrazione del cosiddetto “teorema dell’autostrada”, che assicura la convergenza della configurazione iniziale al raggio di von Neumann della massima crescita uniforme.

 

Il volume è corredato da sette appendici, curate soprattutto da CFM, specialmente la prima e la quarta. L’Appendice 1 ha come titolo Cenni di logica e di teoria degli insiemi. Essa è per intero dovuta a CFM, che in modo elegante e conciso presenta i fondamenti della logica  e della teoria degli insiemi. Spesso CFM affermava che logica e teoria degli insiemi sono la base su cui si erge l’intero edificio della matematica. E proprio a sottolineare questa fondamentalità, con l’eccezione del primo capitolo sui modelli macroeconomici, CFM aveva voluto che spesso le ipotesi e gli enunciati dei teoremi venissero espressi coi simboli della logica e della teoria degli insiemi. L’Appendice 4, su Elementi di topologia dello spazio vettoriale a dimensione finita sul campo reale, da Lui particolarmente curato, dopo avere introdotto in modo elegante e conciso le nozioni fondamentali, arriva a discutere e dimostrare il teorema del punto fisso di Brouwer, passando per la definizione di simplesso, di partizione simpliciale di un simplesso, e l’enunciato del lemma di Sperner sui sottosimplessi.


Teoria della produzione congiunta di Sraffa e modelli di produzione lineari

 

E’ opportuno ora ricordare due scritti di CFM sulla teoria di Piero Sraffa pubblicata nel 1960, sia in Italiano che in Inglese. Nel primo scritto, del 1968 e pubblicato dalla rivista L’Industria, CFM pone la sua attenzione sul caso, piuttosto complesso concettualmente e formalmente, del modello di Sraffa cosiddetto della produzione congiunta, riuscendo fra i primi studiosi a formalizzare alcuni aspetti salienti e ad isolare le difficoltà matematiche di questo caso, specialmente collegate alla costruzione della merce tipo. Nel corso dell’ anno 1977 CFM rielabora lo scritto indicato, per preparare un saggio dallo stesso titolo che viene incluso in un volume curato da Luigi Pasinetti. E’ questo il saggio che, nel 1980, fu tradotto e pubblicato in Inglese, insieme ad altri saggi del volume anche questo curato da Pasinetti.

 

Gli estesi appunti preparati da CFM per la stesura di questo notevole saggio possono essere consultati presso l’archivio predisposto dai suoi eredi.

 

CFM si è anche occupato del modello di Leontief, che pure riguarda strutture produttive rappresentabili con matrici, in particolare matrici quadrate ad elementi non negativi. Due sono essenzialmente i contributi disponibili. Il primo di questi ha come titolo “Autovalori delle matrici leontieviane”, ed è stato oggetto di un contributo di ricerca dell’Università Cattolica, sede di Milano, datato 1987. Essenzialmente CFM studia, con metodo geometrico, come gli autovettori di queste matrici variano al variare di certi elementi delle matrici stesse. Nel 1988 questo contributo è stato presentato all’Istituto Lombardo ed è stato pubblicato, nel 1989, nei Rendiconti dell’Istituto stesso.

 

Nello stesso filone di ricerca sopra richiamato, CFM ha ripreso l’analisi della produzione congiunta nei modelli lineari in un saggio pubblicato nel 1996 nei Rendiconti dell’Istituto Lombardo, e nel medesimo anno si è occupato della “Costruzione di matrici quadrate soddisfacenti a particolari condizioni”, come saggio incluso nel terzo dei volumi di  Saggi in onore di Siro Lombardini, suo amico carissimo sin dagli anni di Modena.

 

Altri contributi di economia matematica

 

Sono da ricordare ancora tre articoli apparsi sulla rivista “Economia politica”, edita dal Mulino di Bologna; nel primo breve saggio, del 1986, CFM discute efficacemente sull’economia e il metodo matematico, da sempre un argomento che lo ha particolarmente interessato. Nel secondo saggio, pubblicato ancora su “Economia politica” nel 1992, CFM discute della teoria classica del consumatore, basata su una funzione indice di utilità, e giunge a riesporre le equazioni di Slutsky.

Questo saggio è apparso anche in traduzione inglese nello stesso anno, nel volume di saggi dal titolo Quantitative methods for applied sciences, pubblicato dall’Università di Siena.

 

Nel terzo saggio, in collaborazione con Alberto Quadrio Curzio e Mario Faliva, la discussione verte sul problema della produzione e dell’efficienza. In particolare, la terza parte del contributo è opera specifica di CFM, che discute sull’esistenza di soluzioni per i casi aggregato e disaggregato, ancora una volta per i sistemi di produzione rappresentabili con matrici.

 

Ulteriori contributi alla matematica applicata all’economia

 

Teoria dei controlli e programmazione dinamica

 

Nei mesi di marzo e aprile del 1971 il centro studi della Montedison affidò a CFM una serie di seminari sulla Teoria dei controlli. Quei seminari sono ben documentati da un manoscritto di 50 pagine scritte nitidamente. All’inizio degli anni settanta dello scorso secolo la teoria dei controlli era ancora ai suoi albori, specialmente per quanto riguarda le sue applicazioni alla teoria economica.

 

Il manoscritto si apre con richiami sulla topologia dello spazio ad n dimensioni sul campo reale, per concentrarsi poi sulla topologia degli spazi funzionali, indispensabili per la trattazione dei problemi di controllo. Seguono alcuni richiami sui sistemi di equazioni differenziali dove la variabile indipendente è naturalmente il tempo e le funzioni coinvolte dipendono anche da un vettore di parametri (i controlli). Come è noto, quando si tratta di un problema di controllo ottimo i controlli devono essere scelti in modo tale che le traiettorie soluzioni del sistema di equazioni differenziali rendano massimo, oppure minimo, un funzionale generalmente rappresentato per mezzo di un integrale.

 

Prima di entrare nel vivo dei problemi di controllo ottimo CFM propone alcuni richiami sul classico calcolo delle variazioni. Passa poi a trattare problemi di controllo e introduce la nozione di “variabile coniugata”; a queste variabili è associato un sistema di equazioni differenziali da affiancare al sistema originario di equazioni differenziali. Questo consente di introdurre la nozione di Hamiltoniano, che coinvolge sia le variabili di stato che le variabili coniugate. A corredo della teoria non mancano alcuni esempi atti a chiarire i punti salienti; per esempio, CFM propone il problema della brachistocrona in un campo gravitazionale. Ampio spazio viene poi destinato all’analisi del caso lineare a coefficienti costanti: in particolare, viene analizzato il caso in cui si rende minimo il tempo occorrente per raggiungere un obiettivo finale prefissato. Qui entra in gioco anche la programmazione lineare.

 

Successivamente vengono proposti accenni alla programmazione dinamica di Bellman, per il caso del tempo considerato come variabile discreta, e si discute il principio di Bellman, ossia “ogni sottoprogramma di un programma ottimale è ottimale”. Chiude la serie dei seminari un ritorno al caso del tempo continuo con esplicito riferimento al lavoro di Pontryagin e associati sul cosiddetto “principio di massimo”, affiancato da un esempio conclusivo sulla minimizzazione del tempo per raggiungere un obiettivo prefissato.

 

CFM ha lasciato anche un corposo manoscritto dedicato allo studio del monopolio inquadrato nella teoria del controllo ottimale.

 

Teoria dei sistemi ed economia

 

Una seconda serie di seminari, disponibili in forma dattiloscritta, venne svolta da CFM nel mese di aprile 1977 in occasione del III convegno su “Teoria dei sistemi ed economia”, svoltosi a Udine presso il Centro Internazionale di Scienze meccaniche (CISM). Il titolo dei quattro seminari è il seguente: “La instabilità nei modelli economici”.

 

Il primo seminario consiste in una introduzione alla instabilità strutturale in economia. In particola-re, si studiano i fenomeni dinamici per la formazione dei prezzi, analizzati mediante equazioni alle differenze finite, e viene dato rilievo alla possibilità che vi siano cicli limite.

 

Il secondo seminario riguarda l’instabilità strutturale nei modelli di ottimizzazione. CFM propone inizialmente un’analisi dell’ottimizzazione in modelli statici, con un richiamo al metodo dei moltiplicatori di Lagrange, che utilizza per studiare i noti problemi del consumatore e dell’impresa concorrenziale, fino ad arrivare ad esprimere le funzioni di domanda individuali. Viene anche considerato il caso dei problemi di programmazione lineare, non risolvibili con i metodi classici della analisi matematica, per dare consistenza a possibili casi di instabilità strutturale delle soluzioni.

 

Dopo queste considerazioni, CFM riprende in esame il caso della massimizzazione del profitto per un’impresa concorrenziale, che ha un unico vettore in corrispondenza del quale il profitto è massimo. L’aspetto dinamico del problema viene introdotto supponendo che l’impresa parta da una situazione non ottima e che tenda a quella ottima attraverso una sequenza di aggiustamenti. CFM suppone che l’evoluzione dinamica degli aggiustamenti segua una “legge della direttissima”, basata sul confronto fra i gradienti della funzione del profitto e della funzione di produzione. Si analizza in seguito il caso dell’impresa in un contesto dinamico, dove l’impresa rende massimo il suo profitto attualizzato in un intervallo temporale assegnato sotto certi vincoli, uno dei quali rappresenta il costo dinamico di riconversione in cui l’impresa stessa incorre. Questo caso interessante è affiancato da un esempio.

 

Il terzo ciclo di seminari ha come oggetto l’instabilità strutturale in modelli economici di controllo ottimale. Si ritrovano qui gran parte delle nozioni presentate nei seminari svolti presso la Montedison di cui si è succintamente detto in precedenza. Due interessanti esempi sono proposti ad illustrazione della teoria.

 

L’oggetto del quarto seminario è costituito dalla teoria dei giochi differenziali, dove l’instabilità strutturale è ambientata nella teoria dei controlli ottimi. La trattazione generale è molto ridotta, per lasciare spazio alla presentazione di alcuni semplici casi concreti. In particolare, la funzione obiettivo è costituita da un integrale su un intervallo di tempo prefissato, dove la funzione integrando dipende da due vettori di controllo. Si tratta quindi di giochi differenziali fra due persone. Corrispondentemente, le variabili di stato obbediscono a un sistema di equazioni differenziali dipendenti dai vettori di controllo, che generano traiettorie volte, con scelte opportune dei controlli stessi, a rendere massimo o minimo l’integrale obiettivo.

 

Bibliografia

 

Volumi (6)

 

Introduzione matematica all’analisi economica, Milano, La Goliardica, 1957 (con Siro Lombardini).

 

Elementi di matematica finanziaria e attuariale, Milano, Malfasi, 1957.

 

Esercizi di matematica finanziaria e attuariale, Milano, La Goliardica, 1959 (con Pietro Canetta).

 

Matematica generale, Milano, La Goliardica, 1961-1964 (varie edizioni).

 

Elementi di economia matematica, Milano, Editrice Viscontea, 1967 (con PierCarlo Nicola), seconda ed. 1970.

 

Elementi di matematica finanziaria e attuariale, Milano, Editrice Viscontea, 1980 (con Pietro    Canetta).

 

Articoli (11)

 

Sull’impiego del metodo matematico in economia, Rivista Internazionale di Scienze Sociali, 1967, pp. 35-43. 

 

Nota sulla applicazione del metodo e degli strumenti matematici alle scienze sociali, Milano, Centro nazionale di prevenzione e difesa sociale, 1967. 

 

Il modello di Piero Sraffa per la produzione congiunta di merci a mezzo di merci, L’Industria, 1968, pp. 3-18. Ripubblicato in: Le modèle de production jointe de marchandises au moyen de marchandises de Piero Sraffa. Une nouvelle approche en Économie politique? Essais sur Sraffa. Gilbert Faccarello, Philippe de Lavergne (a cura di). Économica, Paris, 1977. pp. 91-104. Ripubblicato Sraffa’s model for the joint production of commodities by means of commodities, in L.L.Pasinetti, Essays on the Theory of Joint Production, London, Macmillan, 1980.

 

Sulla introduzione di una funzione indice di utilità, Periodico di Matematiche, 1968, pp. 193-217.

 

L’economia e il metodo matematico, Economia Politica, 1986, pp. 179-186. 

 

A. Quadrio Curzio - M. Faliva - C. F. Manara. Produzione ed efficienza con tecnologie globali. Economia Politica, 4 (1987), 11-47. Riprodotto in: Production and efficiency with global technologies. Production and economics dynamics, edited by M. A. Landesmann and R. Scazzieri. (1996) Cambridge University Press. 105-133. 

 

Variazioni di autovettori delle matrici leontieviane, Rendiconti dell’Istituto Lombardo, 1988, pp. 3-17. 

 

Contributi alla teoria del consumatore. Coerenza e coerenza parziale, Economia Politica, 1992, pp. 49-65. Riprodotto in: Contributions to consumer theory. Coherence and partial coherence in Quantitative methods for applied sciences, Selected papers from the first international meeting on quantitative methods for applied sciences, Università di Siena, 1992, pp. 70-88.

 

L’aspetto geometrico di una questione di economia. La coerenza del consumatore. Convegno per i sessanta anni di Francesco Speranza. Dipartimento di Matematica Università di Bologna, 1992, pp. 123-134.

 

Osservazioni sulla costruzione di matrici quadrate soddisfacenti a particolari condizioni, Economia Politica, 1994, pp. 439-448. 

 

Altri scritti (5)

 

Monopolio e teoria del controllo ottimale, Milano, senza data (manoscritto).

 

Teoria dei controlli, Milano, 1971 (manoscritto).

 

La instabilità nei modelli economici, Udine, 1977 (dattiloscritto).

 

Osservazioni sul modello di Sraffa. Contributi di ricerca dell'Istituto di Econometria  e Matematica per le decisioni economiche. Anno 1995. Numero 1. Università Cattolica del Sacro Cuore. Milano.

 

Inedito:

(1975?) Metodi dell'Economia Matematica: Teoria dei controlli e Teoria dei giochi differenziali. (Testo incompleto che si ritiene preparato per una serie di tre lezioni svolte alla Montedison nella seconda metà degli anni '70).
 
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Alleghiamo per documentazione il testo di Alberto Quadrio Curzio, Pier Carlo Nicola: Modelli Matematici per la crescita economica. In: Atti dei Convegni Lincei, 137. Conferenza annuale della ricerca (Roma, 21-25 ottobre 1996). (Roma Accademia Nazionale dei Lincei, 1998).

 
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